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| - (3,0) Considere um sistema de $N$ partículas em que cada uma pode ocupar apenas dois estados não degenerados de energias $e_1=0$ e $e_2=\epsilon$. Este tipo de sistema é conhecido na Mecânica Quântica e é utilizado para estudos de quiralidade, na molécula de amônia, sistemas de spins, etc. (a) Se a energia total do sistema é $E=m\epsilon$, onde $m$ é um número inteiro, obtenha a expressão para $\Omega(E)$. (b) Use a aproximação de Stirling $(\ln n! \approx n\ln n -n)$ e encontre qual o valor de $E$ para qual $\Omega(E)$ é máximo. | - (3,0) Considere um sistema de $N$ partículas em que cada uma pode ocupar apenas dois estados não degenerados de energias $e_1=0$ e $e_2=\epsilon$. Este tipo de sistema é conhecido na Mecânica Quântica e é utilizado para estudos de quiralidade, na molécula de amônia, sistemas de spins, etc. (a) Se a energia total do sistema é $E=m\epsilon$, onde $m$ é um número inteiro, obtenha a expressão para $\Omega(E)$. (b) Use a aproximação de Stirling $(\ln n! \approx n\ln n -n)$ e encontre qual o valor de $E$ para qual $\Omega(E)$ é máximo. | ||
| - | * $\Omega(m) = N!/m!(N-m)! \longrightarrow \Omega(E) = N! /(E/\epsilon)!(N-E/\epsilon)!$. | + | * <latex>\Omega(m) = N!/m!(N-m)! \therefore \Omega(E) = N! /(E/\epsilon)!(N-E/\epsilon)!</latex>. |
| * $\ln\Omega(m)=N\ln N - N - m\ln m +m -(N-m)\ln(N-m) + (N-m)= N\ln N/(N-m) - m \ln(N-m)/m$. \\ Para achar o máximo $\frac{d}{d m}\Omega = - 1 - \ln m + 1 + \ln (N-m)$ que se anula para $m=N/2$ ou $E=(N/2)\epsilon$. | * $\ln\Omega(m)=N\ln N - N - m\ln m +m -(N-m)\ln(N-m) + (N-m)= N\ln N/(N-m) - m \ln(N-m)/m$. \\ Para achar o máximo $\frac{d}{d m}\Omega = - 1 - \ln m + 1 + \ln (N-m)$ que se anula para $m=N/2$ ou $E=(N/2)\epsilon$. | ||
| - (2,0) Durante várias gerações, a enorme população de SimNation tem sido mantida constante. Curiosamente, todas as pessoas de SimNation se casam. Qual a probabilidade de um casal ter filhos ? E mais do que dois filhos ? | - (2,0) Durante várias gerações, a enorme população de SimNation tem sido mantida constante. Curiosamente, todas as pessoas de SimNation se casam. Qual a probabilidade de um casal ter filhos ? E mais do que dois filhos ? | ||
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| * A média é $a$ e a dispersão $\sigma^2$ (mas tem que resolver as integrais). | * A média é $a$ e a dispersão $\sigma^2$ (mas tem que resolver as integrais). | ||
| - (3,0) Para um gás de partículas sem massa, como fótons e fônons, a relação entre energia e momento é dada por $\varepsilon=pc$. Obtenha $\Omega(E)$ para um gás de $N$ partículas com massa de repouso nula, em um volume $V$. | - (3,0) Para um gás de partículas sem massa, como fótons e fônons, a relação entre energia e momento é dada por $\varepsilon=pc$. Obtenha $\Omega(E)$ para um gás de $N$ partículas com massa de repouso nula, em um volume $V$. | ||
| - | * <jsmath> \sum_{i=1}^{3N} p_i = \frac{1}{c} \sum \epsilon_i = \frac{E}{c} =R </jsmath> | + | * <jsmath> \sum_{i=1}^{3N} p_i = \frac{1}{c} \sum \epsilon_i = \frac{E}{c} =R </jsmath> <jsmath> \Omega(E) \propto R^{3N} \propto V^N E^{3N} </jsmath> |
| - | <jsmath> \Omega(E) \propto R^{3N} \propto V^N E^{3N} </jsmath> | + | |
| - (1,0) Comente as distribuições binomial, Poisson e normal. Apresente exemplos reais de cada uma delas, quando se aplicam e seus casos limites. | - (1,0) Comente as distribuições binomial, Poisson e normal. Apresente exemplos reais de cada uma delas, quando se aplicam e seus casos limites. | ||
